МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

КУВИНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

КУДЫМКАРСКОГО РАЙОНА, ПЕРМСКОГО КРАЯ

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

«МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ»

Работу выполнила

ученица 7-ого класса

Трошева Наталья.

Учитель:

Копытова Н.Г..

с. Кува, 2008 г.

I. Введение. Стр.3.

II. Основная часть.

Стр. 3-5

1. 
   Логические тесты:

1) словесные тесты:

а) анаграммы;

б) вербальные тесты;

1. 
   символико-графические тесты;

Стр. 6-7

1. 
   комбинированные тесты.

Стр. 7-9

1. 
   Метод рассуждений.

Стр. 9-10

1. 
   Метод описания предметов и их форм.

Стр. 10-12

1. 
   Метод поиска родственных задач.

Стр. 12-13

1. 
   Метод «причёсывания задач».

Стр. 13-14

1. 
   Метод «доказательство от противного».

Стр. 14

1. 
   Метод «чётно-нечётно».

Стр. 14-15

1. 
   Обратный ход.

Стр. 15-16

1. 
   Метод таблиц.

Стр. 16-18

1. 
   Метод граф.

Стр. 18-19

1. 
   Метод кругов Эйлера.

Стр. 20

1. 
   Комбинированный метод.

Стр. 21

III.Заключение

IV. Библиографический список.
ВВЕДЕНИЕ
«…Информация заливает нас. Но как бороться с этим половодьем? Единственный путь – не запоминать всё, что течёт в этом потоке, а логически упрощать. Мне трудно разговаривать с человеком , когда я вижу, что у него нет элементарной логической культуры. Логика нужна любому специалисту, будь он математик, медик или биолог. Логика – это необходимый инструмент, освобождающий от лишних, ненужных запоминаний, помогающий найти в массе информации то ценное, что нужно человеку. Без логики – это слепая работа».

(П. Анохин)
В течение всех лет обучения в школе мы много решаем разнообразных задач, в том числе и логических: задачи занимательного характера, головоломки, анаграммы, ребусы и т.п. Чтобы успешно решать задачи такого вида, надо уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Логические задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача – это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Особое место в математике занимают задачи, решение которых развивает логическое мышление, что способствует успешному изучению предмета . Эти задачи носят занимательный характер и не требуют большого запаса математических знаний, поэтому они привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику.

1. 
   Основная часть.

1. Алгоритм решения логических задач

Решение многих логических задач связано с рассмотрением нескольких конечных множеств с одинаковым числом элементов, между которыми требуется установить соответствие. При решении таких задач удобно использовать различные таблицы и графики.

При составлении и решении логических задач мы используем следующий алгоритм:

1. 
   Определение содержания текста (выбор объектов или субъектов).
2. 
   Составление полной информации о происшедшем событии.
3. 
   Формирование задачи с помощью исключения части информации или её искажения.
4. 
   Произвольное формулирование задачи. В случае необходимости (недостаток информации, искажение и т.д.) вводится дополнительное логическое условие.
5. 
   Проверка возможности решения с помощью рассуждений. Получение единственного непротиворечивого ответа означает, что условие составлено, верно. Если нет, то необходимо обратиться к дополнительному п.6.
6. 
   В составленном условии не хватает информации, либо имеющаяся информация противоречиво искажена. Изменяем или дополняем условие задачи, после чего необходимо обратиться к п.5.

Использования данного алгоритма при конструировании задачи.

1. 
   Субъекты: мальчики Ваня, Петя, Коля.
2. 
   Исходная информация: у Коли больше всех грибов.
3. 
   Для составления задачи искажаем информацию. Делаем её логически противоречивой.

Известны сообщения мальчиков:

• 
  Ваня говорит, что больше всего грибов собрал Петя;
• 
  Петя говорит, что больше всего грибов собрал Коля;
• 
  Коля говорит, что больше всего грибов собрал Ваня.

1. 
   Записываем условие задачи:

«Мальчики собирали в лесу грибы. Ваня подсчитал, что больше всего грибов собрал Петя. Петя подсчитал, что больше грибов у Коли. Коля сообщил после своего подсчёта, что больше всех собрал грибов Ваня. Кто из мальчиков больше всех собрал грибов, если известно, что только один из них опередил всех и известно, что один из мальчиков сообщил верные сведения, а двое других сказали неправду?»

1. 
   Рассмотрев три варианта, нетрудно установить, что решение найти невозможно. Переходим к следующему действию алгоритма.
2. 
   Уточняем информацию. Во-первых, допускаем, что

лгут все мальчики,

и, во-вторых, дополнительно изменяем сообщение Пети:

«У Коли меньше всего грибов».

Решение задачи становится очевидным.

Для развития памяти, обобщения полученных знаний интересны логические тесты. Для решения математических тестов кроме знаний из школьной математики необходимо умение наблюдать, сравнивать, обобщать, проводить аналогии, делать выводы и обосновывать их. В основном, тесты представляют собой задания творческого характера, способствующие развитию логического мышления.

Логические тесты подразделяются на три основные группы:

• 
  словесные
• 
  символико-графические
• 
  комбинированные

К первой группе относятся математические анаграммы и вербальные тесты.

Анаграммой называется слово, в котором поменяли местами все или несколько букв по сравнению с исходным словом . Решить анаграмму – означает определить исходное слово.

Примеры .

1. Решить анаграммы и исключить лишнее слово:

мапряя; чул; резоток; рипетрем.

Упражнение состоит из двух частей:

1) решить анаграммы (прямая; луч; отрезок; периметр);

2) исключить лишнее слово, т.е. определить логическую закономерность, лежащую в основе подбора этих терминов, и, исходя из неё, исключить логически несовместимое слово.

В нашем случае лишним словом будет «периметр» - метрическая (скалярная) величина. «Прямая», «луч», «отрезок» - геометрические фигуры.

Таким образом, устанавливается и математическая терминология, и развивается логическое мышление.

Вербальный тест – это задание типа:

вставьте пропущенное слово

числитель (тело) число

дробь (?) знаменатель

Задание состоит из двух частей. В первой части дано решенное упражнение: из двух слов «числитель» и «число» выделено новое слово «тело». Задача решающего – найти логический признак, по которому было составлено это слово. Применив аналогию, при исследовании второй части вставим пропущенное слово «роль». После этого можно ответить на вопрос «Как логически взаимосвязаны математические термины, представленные в этом задании?»

Мир символико-графических логических тестов очень разнообразен и богат. Задания представляют собой эффективный способ взаимосвязи алгебраического материала с изображением математических фигур.

1. 
   Вставьте необходимую фигуру:

? 100
Логические тесты дают возможность повторить разные понятия, свойства, правила и т.п. Каждое логическое математическое задание содержит некоторый математический «секрет». Найти его – основная задача решающего. При решении важно находить закономерности (правила), по которым составлена первая часть задачи, и, применяя метод аналогии, решить вторую часть задачи.

Примеры.

1. 
   Найти закономерность и исключить лишний элемент

а) {15; 60; 35; 12; 40; 120}

б) {задача; переменная; уравнение; функция}

1. 
   Реши анаграммы:

асонс; лосок; ракаск; редас; сенав

1. 
   Восстанови цепочку слов: конец первого слова служит началом второго:

логи (…) талог; чере (…) олад;

высо (…) ра; брут (…) чка
К комбинированным логическим тестам относятся задания, содержащие как вербальную версию, так и символико-графическую. Такие упражнения требуют не только наблюдательности, умения сравнивать, обобщать, делать выводы и обосновывать их, но и умения устанавливать необычные связи между объектами, проводить аналогии.

Пример. Вставьте пропущенное слово

математика 3≤x≤6 тема

дециметр 5≤x≤8 ?

Проанализировав первую часть, придём к выводу, что, взяв буквы с третьей по шестую, мы получим слово «тема». Аналогично, взяв буквы с пятой по восьмую, получим слово «метр».

Комбинированные логические тесты могут быть очень разнообразными.

Примеры.

1. 
   Запиши недостающее слово:

сантиметр – миллиметр; гектар - ?

1. 
   В одном классе 27 учеников. Можно ли утверждать, что в этом классе найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной и той же буквы?
2. 
   Составьте пропущенный рисунок и впишите нужное число.

В первом прямоугольнике числа 1,2,3 и 4 связаны по схеме; отсюда делаем вывод: одна бабушка, две матери, три дочери; всего в данной семье 4 женщины.

Рассуждая аналогично по данным второго прямоугольника, приходим к схеме:

Бабушка

Мать

Дочь

В роли матери выступают две женщины: бабушка, мать, в роли дочери – две женщины: мать и дочь, а всего в этой семье 3 женщины.

Для раскрытия причинной связи между явлениями окружающей действительности можно предложить следующие логические задания.

4. Из слов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье выберите нужные слова:

было вчера вчера вторник

есть? Или сегодня? Или: 3 среда

будет? завтра? 5 ?

5.Вставьте пропущенное равенство:

Г В? ?
Логика помогает усваивать знания осознанно, с пониманием, т.е. не формально; создаёт возможность лучшего взаимопонимания. Логика – это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация «замаскирована», представлена неявно, и надо уметь её извлечь.

1. 
   Текстовые логические задачи можно условно разделить на следующие виды:
   1. 
      все высказывания истинны;
   2. 
      не все высказывания истинны;
   3. 
      задачи о правдолюбцах и лжецах.

Желательно отрабатывать решение каждого вида задач постепенно, поэтапно.

1. 
   Основные методы решения задач

Метод рассуждений

В методике рассуждений при решении помогают: схемы, чертежи, краткие записи, умение выбирать информацию, умение пользоваться правилом перебора.

Примеры.

1. 
   Лена, Оля, Таня участвовали в беге на 100 м. Лена прибежала на 2 с раньше Оли, Оля прибежала на 1 с позже Тани. Кто прибежал раньше: Таня или Лена и на сколько секунд?

Решение.

Составим схему:

Лена __________

Оля __________ __ __

Таня __________ __

Ответ. Раньше на 1с пришла Лена.

1. 
   Любое натуральное число от 1 до 10 можно записать:

а) четырьмя тройками;

б) четырьмя четвёрками;

использую при этом любые математические знаки.

Ответ: а) 33: 33 = 1 б) 44: 44 = 1

3: 3 + 3: 3 = 2 4: 4 + 4: 4 = 2

3 · 3 – 3 – 3 = 3 (4 + 4 + 4) : 4 = 3

3 (4 – 4) · 4 + 4 = 4

(3: 3) + 3 = 4 4

3 + 3 – 3: 3 = 5 (4: 4) + 4 = 5

3 + 3 + 3 – 3 = 6 (4 + 4) : 4 + 4 = 6

3 + 3 + 3: 3 = 7 44: 4 – 4 = 7

3 · 3 – 3: 3 = 8 4 · 4 – 4 – 4 = 8

3 · 3 + 3 – 3 = 9 4: 4 + 4 + 4 = 9

3 · 3 + 3: 3 = 10 (44 – 4) : 4 = 10

Метод описания предметов и их форм

Приходилось ли вам договариваться о встрече в каком-нибудь установленном месте. Например, около автовокзала с человеком, которого вы никогда раньше не видели? Как узнать незнакомца, выделить его из многих других людей? Конечно, по его признакам. Например, он может сказать, что у него светлые волосы, голубые глаза, высокий рост, чёрная куртка, джинсовые брюки, белые кроссовки. Чтобы наверняка не ошибиться, можно попросить его держать в руках газету или журнал. Все эти признаки вместе взятые составляют описание внешности человека. По этому описанию вы можете его узнать, т.е. догадаться, что перед вами тот самый человек, который вам нужен.

По описанию можно представить себе предмет, место или событие, которое вам никогда не доводилось видеть, Например, мамонта, Южный полюс или извержение вулкана.

По приметам (признакам) преступника составляют его предполагаемый портрет – фоторобот.

По признакам (симптомам) болезни врач ставит диагноз, т.е. распознаёт болезнь.

Разгадывание многих загадок, шарад, решение кроссвордов основано на узнавании объекта по описанию.

Примеры.

1. 
   Вот два описания одного и того же времени года.

«Похолодание, осадки в виде дождя и снега. Изменение окраски листьев и листопад у растений. Отлёт птиц».

(Из учебника «Природоведение»)

«Роняет лес багряный свой убор,

Сребрит мороз увянувшее поле,

Проглянет день, как будто поневоле,

И скроется за край окружных гор».

(А.С.Пушкин)

О каком времени идёт речь? Как об этом можно догадаться?

1. 
   Нарисуй фигуру по её описанию:

а) четырёхугольник с равными сторонами и равными углами;

б) многоугольник, у которого три стороны.

Как называется каждая из этих фигур?

1. 
   Запиши двузначное число, которое делится на 4 и кончается цифрой 6. Сколько таких чисел?
2. 
   Возможно ли такое:

а) он – мой дед, но я ему не внук;

б) у моей сестры есть брат, а у меня нет брата?

1. 
   Что это за предмет: чаще всего деревянный, называют иногда журнальным?

Метод поиска родственных задач

Если задача трудна, то необходимо попытаться найти и решить более простую «родственную» задачу. Это даёт ключ к решению исходной задачи. При этом полезно:

а) рассмотреть частный (более простой) случай, а затем обобщить идею решения;

б) разбить задачу на подзадачи;

в) обобщить задачу (например, заменить конкретное число переменной),

г) свести задачу к более простой.

Примеры.

1. В угловой клетке таблицы 5Х5 стоит плюс, а в остальных клетках стоят минусы. Разрешается в любой строке или любом столбце поменять все знаки на противоположные. Можно ли за несколько таких операций сделать все знаки плюсами?

Решение. Возьмём квадрат 2Х2 (один плюс и три минуса). Можно ли сделать все знаки плюсами? Нельзя! Воспользуемся этим результатом: выделим в квадрате 5Х5 квадратик 2Х2, содержащий один плюс. Про него уже известно, что сделать все знаки плюсами невозможно. Значит, в квадрате 5Х5 и подавно этого сделать нельзя.

1. 
   Сколько существует трёхзначных чисел?

Ответ: 900

1. 
   Яблоко стоит п рублей и ещё пол-яблока. Сколько стоят т яблок?

Метод «причёсывания задач» (или «можно считать, что…»)

Можно решать задачу, как придётся, а можно предварительно преобразовать её к удобному для решения виду: переформулировать условие на более удобном языке (например, на языке чертежа), отбросить простые случаи, свести общий случай к частному. Такие преобразования сопровождаются фразами: «в силу чётности», «явно не хуже», «для определённости», «не нарушая общности», «можно считать, что…»

Примеры.

1. 
   Каждый ученик класса ходил хотя бы в один из двух походов . В каждом походе мальчиков было не больше 2/5. докажите, что всего мальчиков в классе не больше 4/7.

Решение. Решение «в лоб» состоит в рассмотрении количества мальчиков, ходивших только в первый поход, ходивших только во второй поход, ходивших в оба похода, то же для девочек, что ведёт к составлению нескольких уравнений. Поэтому избавимся от лишних неизвестных. Сводя задачу к частному случаю. Проделаем это в несколько шагов. После каждого шага упрощения становится очевидным следующий шаг.

Будем увеличивать число мальчиков в классе, не изменяя числа девочек и не нарушая условия задачи.

1-ый шаг. «Впишем» всех девочек в число участников обоих походов. От этого доля мальчиков в классе не изменится, а в походах уменьшится. Итак, можно считать, что все девочки ходили в оба похода.

2-ой шаг. Если мальчик ходил в первый поход, то освободим его от посещения второго. Доля мальчиков в походе уменьшится. Итак, можно считать, что каждый мальчик ходил только в один поход.

3-ий шаг. Если в одном походе было меньше мальчиков, чем в другом, то добавим в класс мальчиков. Доля мальчиков в походах не уменьшится, она останется не больше 2/5, а доля мальчиков в классе увеличится . Можно считать, что мальчиков в походах поровну.

4-ый шаг. Задача стала следующей: в обоих походах были все девочки и ровно половина мальчиков. Обозначим число девочек через 3х, тогда мальчиков в походах было не больше 2х, а во всём классе – не больше 4х. Максимальное число мальчиков в классе 4х, а это 4/7 класса.

Метод «доказательство от «противного»»

Рассуждают примерно так: «Допустим, исходное утверждение неверно. Если из этого получим противоречие, то исходное утверждение верно».

Примеры.

1. Существует ли самое большое число?

Решение . Допустим, что существует. Тогда прибавим к этому числу единицу и получим ещё большее число. Противоречие. Значит, сделанное предположение неверно, и такого числа не существует.

1. 
   Есть ли самое маленькое число?

Метод «чётно-нечётно»

Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина имеет определённую чётность. Из этого следует, что ситуации, в которых данная величина имеет другую чётность, невозможны. Иногда эту величину надо «сконструировать», например, рассмотреть чётность суммы или произведения, разбить объекты на пары. Заметить чередование состояния, раскрасить объекты в два цвета и т.д.

Примеры.

1. 
   Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1м). Докажите, что он сделал чётное число прыжков.

Решение. Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку. Количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков чётно.

1. 
   Докажите, что если в сумме, где все слагаемые нечётные, их численное количество чётно, то и сумма будет чётной и наоборот.

Обратный ход

Если в задаче задана некоторая операция, и она обратима, то можно сделать «обратный» ход от конечного результата к исходным данным. (Например, надо вынести шкаф из комнаты. Пройдёт ли он через дверь? Пройдёт, потому что через дверь его внесли). Анализ с конца используют при поиске выигрышных и проигрышных ситуаций.

Примеры.

1. 
   Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько у них стало. И, наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к этому времени имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько было фантиков у каждого вначале?

Решение. Мы знаем, что в конце у всех оказалось по 40 фантиков. А перед этим у Пети и Вани было вдвое меньше. Значит, у Пети и Вани было вдвое меньше – по 20, а у Толи – 80. А перед этим у Пети и Толи было вдвое меньше, т.е. у Пети было 10, у Толи 40, у Вани – 70. И, наконец, возьмём половину фантиков у Вани и Толи и вернём Пете.

Ответ: у Пети было 65 фантиков, у Вани – 20, а у Толи – 35.

1. 
   Задумали некоторое число, умножим его на 12, от результата отняли 10, полученное разделили на 2, затем от частного отняли 1 и разность разделили на 2. Получилось столько, сколько месяцев в году. Какое число задумали?

Метод таблиц

Примеры.

1. Барсук позвал к себе гостей:

Медведя, рысь и белку.

И подарили барсуку

Подсвечник и тарелку.

Когда же он позвал к себе

Рысь, белку, мышку, волка,

То он в подарок получил

Подсвечник и иголку.

Им были вновь приглашены

Волк, мышка и овечка.

И получил в подарок он

Иголку и колечко.

Он снова пригласил овцу,

Медведя, волка, белку.

И подарили барсуку

Колечко и тарелку.

Нам срочно нужен ваш совет.

(На миг дела отбросьте).

Хотим понять, какой предмет

Каким подарен гостем,

И кто из шестерых гостей

Явился без подарка?

Не можем мы сообразить,

Сидим… Мудрим… Запарка…

Решение. Составим таблицу 6Х4 и из первого четверостишия делаем

выводы:

медведь, рысь, белка не дарили иголку и колечко;

1. 
   мышка, волк, овца не дарили подсвечник и тарелку.

Получаем таблицу:

	Медведь	Рысь	Белка	Мышка	Волк	Овца
Подсвечник	-	+	-	-	-	-
Иголка	-	-	-	+	-	-
Тарелка	+	-	-	-	-	-
Кольцо	-	-	-	-	-	+

Ответ виден из таблицы.

1. 
   . Докажите, что любое число рублей можно уплатить, если покупатель и кассир имеют лишь трёхрублёвые и пятирублёвые купюры.

Решение. Составим таблицу, приведя в пример числа от 1 до 10.

Число	Покупатель	Кассир
1	3 + 3 = 6	5
2	5	3
3	3	-
4	5 + 5 = 10	3 + 3 = 6
5	5	-
6	3 + 3 = 6	-
7	5 + 5 = 10	-
8	5 + 8 = 8	-
9	3 + 3 + 3 = 9	-
10	5 + 5 = 10	-

Ответ виден из таблицы.
Метод граф

Слово «граф» в математической литературе появилось совсем недавно. Понятие графа используется не только в математике, но и в технике и даже в повседневной жизни под разными названиями – схема, диаграмма.

Особенно большую помощь графы оказывают при решении логических задач. Представляя изучаемые объекты в наглядной форме, «графы» помогают держать в памяти многочисленные факты, содержащиеся в условии задачи , устанавливать связь между ними.

Графом называется любое множество точек, некоторые из которых соединены линиями или стрелками. Точки, изображающие элементы множества, называют вершинами графа, соединяющие их отрезки – рёбрами графа. Точки пересечения рёбер графа не являются его вершинами. Во избежание путаницы вершины графа часто изображают не точками, а маленькими кружочками. Рёбра иногда удобнее изображать не прямолинейными отрезками, а дугами.

Примеры.

1. В первенстве класса по теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводилось по круговой системе: каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. Некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной и Еленой, Борис с Галиной, Виктор с Галиной, Дмитрием и Еленой. Сколько пар проведено и сколько ещё осталось? Б В

Г
Рёбер у этого графа оказалось 8, значит, осталось провести 8 игр.
2. В первенстве по шахматам участвуют пять человек: Андрей, Борис, Валя, Галя, Дима. Каждый из участников должен сыграть с другими 1 раз. Сколько игр надо провести?

Метод кругов Эйлера

Этот метод даёт ещё более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.

Один из величайших математиков петербургский академик Леонард Эйлер за свою долгую жизнь (он родился в 1707 г., а умер в 1783 г.) написал более 850 научных работ. В одной из них и появились эти круги. Эйлер писал тогда, что «они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Наряду с кругами в подобных задачах применяют прямоугольники и другие фигуры.

Примеры.

1. Часть жителей города умеет говорить только по-русски, часть – только по-узбекски и часть умеет говорить на обоих языках. По-узбекски говорят 85%, по-русски 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?

Решение. Составим схему –

85% 75%

В кружке под буквой «У» обозначим жителей, говорящих по-узбекски, под буквой «Р» - по-русски. В общей части кружков обозначим жителей, говорящих на обоих языках. Теперь от всех жителей (100%) отнимем кружок «У» (85%), получим жителей, говорящих только по-русски (15%). А теперь от всех, говорящих по-русски (75%), отнимем эти 15%. Получим говорящих на обоих языках (60%).

1. 
   Из 32 учащихся класса 12 – мальчики. Из них 8 занимаются футболом, 9 – баскетболом, 3 – плаванием. Сколько мальчиков занимаются тремя видами спорта?

Комбинированный метод

Метод, при котором задачу можно решить несколькими способами.

Пример. Имеются кубики из картона и из дерева, большие и маленькие,

красные и зелёные. Известно, что:

1. 
   зелёных кубиков 16;
2. 
   зелёных больших 6;
3. 
   больших зелёных из картона 4;
4. 
   красных из картона 8;
5. 
   красных из дерева 9;
6. 
   больших деревянных 7;
7. 
   маленьких деревянных 11.

Сколько всего кубиков?

Решение. I. Сложив 1), 4), 5), получим 16 + 8 + 9 = 33

II.Из рисунка получаем:

картон. красные деревянн.

4 2 5 большие

3 7 4 маленькие

Всего кубиков 2 + 3 + 4 + 7 + 8 + 5 + 4 = 33

Заключение

Предложенный материал «Методы решения логических задач » можно использовать как на уроках математики, так и на внеклассных занятиях учащимся 5-9-х классов, учителям с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных заданий, интеллектуальным конкурсам «Марафон знаний», региональному конкурсу «Кенгуру».

Библиографический список

1. 
   Акири И.К. Логические упражнения на уроках математики. Тирасполь, 1991.
2. 
   Айзенк Г.Ю. Проверьте свои способности. М., 1972.
3. 
   Вершинина З., Горбатенко Т., Шагинян О. Развиваем математическое мышление.
4. 
   Гайшут А.Г. Математика в логических упражнениях. Киев, 1985.
5. 
   Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 4 – 6 классах.
6. 
   Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике.
7. 
   Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике.
8. 
   Краснослабоцкая Г.В. Формирование компонентов общей культуры мышления школьников.
9. 
   Махров В.Г. Решение логических задач.
10. 
    Махров В.Г. Развивающие задачи по математике.
11. 
    Махров В.Г. Задачи-сказки.
12. 
    Миракова Т.Н. Об уровне языкового развития учащихся VI – VII классов.
13. 
    Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка.
14. 
    Никольская И. … И эти палочки – трагедии знаменье.
15. 
    Чесноков А.С., Шварцбург Г.И. и др. Внеклассная работа по математике в 4 – 5 классах.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Минская область Борисовский район

Государственное учреждение образования

«Лошницкая районная гимназия»

Исследовательская работа

по математике

Карпович Анна Игоревна, учащаяся 11 класса,

Мелех Алексей Владимирович, учащийся 9 класса,

Демидчик Артём Алексеевич, учащийся 9 класса

Руководитель:

Якименко Иван Викторович, учитель математики

Лошница, 2006-2008

Введение 3

Актуальность выбранной темы 3

Обзор литературы по теме 4

Формирование понятий 4

Степень разработанности проблемы 4

Объект исследования 5

Предмет исследования 5

Постановка целей 5

Постановка задач 5

Основная часть 6

Эмпирическая основа исследования 6

Описание путей и методов исследования 6

1. Изучение библиографии 6

2. Метод проб и ошибок 6

3. Варьирование 7

Результаты исследований 8

Достоверность полученных результатов 8

Заключение 9

Подведение итогов. Выводы 9

Практическая значимость полученных результатов 9

Научная новизна полученных результатов 9

Приложения 10

Приложение 1. Классификация логических игр 10

Приложение 2. Правила игры «Дюжина» 10

Приложение 3. Правила игры «Чёртова дюжина» 10

Приложение 4. Классификация фигур в игре «Дюжина» 11

Приложение 5. Дополнительные фигуры игры «Дюжина» 12

Приложение 6. Фигуры игры «Чёртова дюжина» 17

Литература 18

Введение

Актуальность выбранной темы

Ещё ни один ребёнок, от первоклашки до выпускника, не отказался просто поиграть, особенно вместо или во время урока.

Для этого не нужен особый инвентарь, достаточно тетрадного листа и ручки. Школьные игры просты в исполнении, всегда имеют завершение, гарантируют все три исхода: выиграл, проиграл, ничья.

Однако большинство игр, в которые играют школьники, давно известны, а потому изучены и неинтересны. Например, два сильных игрока никогда не проиграют друг другу в «крестики-нолики». Этот «игровой вакуум» неотвратимо приводит к поиску новизны по одному из направлений:

- в правилах иг ры («Крестики-нолики» до пяти),

- в размерах игрового поля (безразмерные «Уголки»),

- в количестве игроков (перекрёстный «Морской бой»).

В связи с этим мы считаем актуальным придумать, опробовать и исследовать новые игры для школьников.

Актуальность темы исследования подтверждается неослабевающим интересом к шарадам, ребусам, головоломкам, которые служат для школьника человека полигоном по испытанию своих возможностей в решении проблем и задач любой сложности. Другими словами, развивая логику, мы учимся выживать.

Готфрид-Вильгельм Лейбниц отмечал в письме к своему коллеге: «...даже игры, как требующие ловкости, так и основанные на случайности, дают громадный материал для научных занятий. Мало того, самые обыкновенные детские забавы могли бы остановить на себе внимание величайшего математика» (, стр.19-20).

И, наконец, нам не давали покоя лавры Эрне Рубика, изобретателя самой известной (и самой коммерческой!) головоломки – кубика Рубика.

В течение предыдущего года нами была создана игра «Дюжина» (см. Приложение 2 ). Работа над игрой продолжалась в текущем году с целью доработки, исследования игровых комбинаций и разработки новых вариантов игры.

Обзор литературы по теме

Формирование понятий

Логика. 1. Наука о законах мышления и его формах. 2. Ход рассуждений, умозаключений. 3. Разумность, внутренняя закономерность. (, стр.167)

Игра. Занятие чем-то, что служит для развлечения, отдыха, участие в соревнованиях по чему-нибудь. (, стр.127)

Даже при первом сопоставлении бросается в глаза противоречивость этих двух понятий, а уж словосочетание «логические игры» вообще кажется словесным нонсенсом.

На основе вышеприведенных определений логическую игру можно рассматривать как занятие, служащее для развлечения и развития мышления .

В работе будут употребляться термины:

«Бумажная игра» - это игра для двух и более игроков, в которой используется лист бумаги и ручка.

Под «компьютерной игрой» мы будем понимать бумажную или другую логическую игру, для которой существует или может быть создан компьютерный вариант.

Термин «инвентарная игра» понимается как игра, требующая дополнительного, специально изготовленного инвентаря.

«Математическая игра» - игра, для которой требуются математические знания из различных разделов алгебры или геометрии.

«Выигрышная стратегия» трактуется в обычном понимании, то есть как способ ведения игры, неизбежно приводящий к победе.

«Игровой исход» - окончание игры. Возможны три игровых исхода: победа, поражение, ничья.

Степень разработанности проблемы

Изучая литературу по исследуемому вопросу, мы отметили, что, попадая в поле зрения математиков, любой факт, зависимость, явление сразу же измеряется, обсчитывается, классифицируется и так далее.

«Задача о ферзях» (, стр.100) подробно описана в теории и для n=8 доказательно имеет 92 решения (там же).

Древние математические забавы «Игра Баше», «Цзяньшидзы» и «Ним» вообще названы играми, «теория которых разработана с исчерпывающей полнотой» (, стр.59).

Тем не менее, в изученных источниках не встретились даже упоминания о такой известной игре, как «Точки» .

Широко распространённая задача заполнения шахматного поля ходом шахматного коня (, стр.104) рассматривается и для поля nхn, и для поля mхn. Однако в литературе задача имеет только одну вариацию для урезанного поля 9х9 без углов (, стр.20), а значит, может иметь и другие, неисследованные начальные условия.

Вопрос о существовании решений для «Магических квадратов» любого размера до сих пор остается открытым (, стр.25, , стр.89).

Таким образом, исследование в литературе логических игр, задач на смекалку, игровых и занимательных задач не исчерпывает всего многообразия условий и решений, а значит, степень разработанности проблемы можно определить как недостаточную .

Объект исследования

Объектом исследования служат познавательные и креативные интересы учащихся 8-11 классов.

Предмет исследования

Предметом исследования выступает созданная авторами игра «Дюжина» и её продолжение – игра «Чёртова дюжина».

Постановка целей

Целью данного исследования является разработка, апробация и изучение новых логических игр .

Постановка задач

Реализация поставленной цели требует решения следующих конкретных задач:

1. 
   Изучить литературу по интересующей теме.
2. 
   Классифицировать выигрышные исходы игры (фигуры).
3. 
   Улучшить и расширить собственную игру.
4. 
   Уточнить актуальность и востребованность созданных игр.
5. 
   Сформулировать рекомендации по созданию игр.

Основная часть

Эмпирическая основа исследования

Эмпирической основой нашего исследования служат результаты, после апробации игры «Дюжина» .

Также сюда следует отнести многочисленные рукописные варианты самой игры, апробированные авторами и респондентами, и мини-турнир, проведенный в рамках недели точных наук.

Описание путей и методов исследования

В ходе выполнения работы использовались следующие методы:

1. Изучение библиографии

На этом этапе при изучении литературы по интересующему вопросу (в основном это книги по занимательной математике) мы искали логические игры и классифицировали их по определённым признакам (см. Приложение 3).

Оказалось, что ни одна из игр не является специфической, т.е. не может относиться только к одному виду.

Например, игра «Пентамино» (, стр.13) состоит в том, чтобы из любых фигурок пентамино (плоская фигура, составленная из пяти равных квадратов) сложить большую фигуру – квадрат, прямоугольник и т.д. Рисуем пентамино на бумаге в клеточку – игра бумажная, вырезаем из картона – инвентарная. Но нам эта игра больше знакома как продолжение компьютерного «Тетриса» – «Пентикс» .

Кроме того, мы ещё раз убедились, что все игры в той или иной степени являются учебными, развивают мыслительные способности игроков.

2. Метод проб и ошибок

Если вкратце описывать правила игра «Дюжина» , кто первым получит одну из заранее оговоренных фигур, тот и выиграл (см. Приложения 2,4,5).

На первый взгляд, при таких правилах игра не может иметь ничейного исхода, ведь завершающий ход делает только один игрок, а не начертить хотя бы одну фигуру при таком разнообразии просто невозможно. Однако оба игрока должны иметь равные шансы, поэтому давайте позволим им сделать равное количество ходов, и тогда они могут «победить оба».

Напомним, что название игра получила по числу рисок, составляющих выигрышную фигуру.

Развитием темы стала компьютерная интерпретация. Игра имеет три электронных варианта: один в MicroSoft Word и два в MicroSoft Excel. Для того чтобы играть в «Дюжину» , необходимо настроить интерфейс Office, для чего удобно создать новую рабочую панель.

3. Варьирование

Метод варьирования состоит в проигрывании (прохождения, продумывания) различных вариантов какой-либо ситуации. Варьирование и есть работа логического мышления . В нашем случае это:

Формулировка самых легких и быстро запоминающихся правил игры,

Определение оптимальных размеров поля,

Увеличение числа возможных фигур.

Пытаясь поставить себя на место лидера или аутсайдера, мы искали выходы из сложившейся на поле позиции. Самым важным в этой работе был поиск возможной выигрышной стратегии , ведь если такая найдется, наша игра спустя какое-то время станет такой же «избитой», как и остальные.

Игровое поле представляет собой набор рисок:

Горизонтальных – 6х7=42,

Вертикальных – 6х7=42,

Диагональных – 2х36=72,

Итого – 2х42+72=156.

Элементарный подсчет – 156:12=13 показывает, что на поле одновременно можно построить 13 фигур, состоящих из требуемых 12 рисок. Кратность общего числа рисок числу 13 стала первой подсказкой к смене правил игры.

^ Генеральными направлениями в варьировании стали следующие изменения правил:

1. 
   запрет чертить вторую диагональ (значительно ускоряет игру, дает дополнительные возможности для ничейного исхода);
2. 
   запрет использовать чужие риски (делает игру слишком «прозрачной» для соперника);
3. 
   изменение размеров поля (увеличение дало отрицательный эффект, при уменьшении теряются некоторые базовые фигуры);
4. 
   дополнение базового набора выигрышных фигур (асимметричных, невыпуклых многоугольников, незамкнутых фигур);
5. 
   увеличение числа рисок в базовых фигурах.

Результаты исследований

Именно два последних направления в варьировании дали самые обнадёживающие результаты. Во-первых, многообразие получаемых фигур было настолько велико, что для них пришлось придумать специальную классификацию (см. Приложение 4 ). При этом большинство фигур, получаемых согласно правилам игры – невыпуклые осе-симметричные многоугольники.

Во-вторых, перейдя к несимметричным фигурам, мы ощутили острую необходимость добавить в фигуры ещё одну риску! С добавлением 13-й риски стало трудно получить симметрию. Это сделало игру ещё более захватывающей. Название же новой игры появилось само собой: «Чёртова дюжина ».

Исследование модернизированной игры, возможно, приведёт к значительному изменению правил. Например, если разрешить на поле разные фигуры, в одной партии можно будет «заработать» столько очков, сколько рисок содержит выигрышная фигура. За фигуры разной формы (см. Классификацию) тоже можно ввести бонусные очки и т.д.

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов исследования обеспечивается:

• 
  практическим подтверждением основных положений исследования (созданная игра – огромный простор для исследований школьников любого возраста) ;
• 
  тщательной обработкой полученных в ходе исследования данных (при изменении правил игры рассмотрены все генеральные направления видоизменений игровых исходов и выигрышной стратегии) .

Заключение

Подведение итогов. Выводы

1. 
   Игра «Дюжина » может быть использована при изучении математики на всех ступенях обучения.
2. 
   Игра «Чёртова дюжина » является продолжением, логическим развитием игры «Дюжина ».
3. 
   «Чёртова дюжина » полностью отвечает предъявленным в целеполагании требованиям.
4. 
   Тема требует развития в виде исследования логических игр.

Практическая значимость полученных результатов

Модернизированная игра имеет практическую ценность

Как учебное средство для:

• 
  Математиков (развитие логического мышления, знакомство с геометрическими фигурами).
• 
  Информатиков (знакомство с программами MicroSoft Office, навыки работы с «мышью», работа с буфером обмена Office).
• 
  Школьников младшей и средней ступени (модернизация игр в рамках исследовательских работ).

- как средство организации досуга для:

• 
  Игроков любого возраста (соревнования, турниры).

Научная новизна полученных результатов

Исходная игра «12» и модернизированная игра «13», по сведениям автора, руководителя и респондентов, аналогов не имеют и являются интеллектуальной собственностью их разработчиков.

Приложения

Приложение 1. Классификация логических игр

• 
  Инвентарные

(шахматы, шашки, нарды, домино, карточные, дзяньшицзы и др. )

• 
  Бумажные

(точки, крестики-нолики в разных вариантах, морской бой и др.)

• 
  Учебные (математические)

(магические квадраты, фокусы, шарады, задачи на размещение)

• 
  Лингвистические

(«виселица», «крокодил», «скрабл», скан-, кросс-, чайнворды и др.)

• 
  Компьютерные

(электронные интерпретации выше названных игр + новые возможности: тетрисы, змейки, пакман и др. динамические)

Приложение 2. Правила игры «Дюжина»

Игра «Дюжина» («Двенадцать») предназначена для школьников 6-16 лет.

Задача игрока – раньше соперника нарисовать заранее оговоренную фигуру, состоящую из 12 рисок. Для получения фигуры можно использовать как свои, так и риски, нарисованные соперником.

Приложение 3. Правила игры «Чёртова дюжина»

Игра «Чёртова дюжина» («Тринадцать») предназначена для школьников 10-17 лет.

Игровое поле представляет собой квадрат 6х6 клеток. Играют двое. Ходом считается прорисовка одной из 4-х рисок: горизонтальной стороны клетки, вертикальной стороны клетки или любой диагонали клетки. Ход можно делать только от уже нарисованной риски. Диагональные риски могут пересекаться.

Задача игрока – раньше соперника нарисовать заранее оговоренную фигуру, состоящую из 13 рисок. Для получения фигуры можно использовать как свои, так и риски, нарисованные соперником.

Бонусом считается получение новой фигуры (по обоюдному согласию игроков).

Приложение 4. Классификация фигур в игре «Дюжина»

По симметричности :

1) осевая симметрия:

• 
  сторонняя симметрия (ось симметрии проходит по стороне клетки);
• 
  диагональная симметрия (ось симметрии проходит по диагонали клетки);
• 
  побочная (ось симметрии проходит внутри клетки).

2) центральная симметрия;

3) универсальная симметрия (сторонняя, диагональная и центральная одновременно);

4) асимметрия.

По выпуклости :

1. 
   выпуклые;
2. 
   невыпуклые.

По форме :

1. 
   геометрические фигуры;
2. 
   одушевлённые предметы;
3. 
   неодушевлённые предметы.

Приложение 5. Дополнительные фигуры игры «Дюжина»

сердце

шорты

волк

бумеранг

бабочка

стриж

Приложение 6. Фигуры игры «Чёртова дюжина»

змея

волк

ёжик

самолёт

Литература

1. 
   Барабанов Е.А. и др. Международный математический конкурс «Кенгуру» в Беларуси - Мн.: ОО «Бел. ассоц. «Конкурс», 2005. – 96 с.; ил.
2. 
   Баханьков А.Е.; Толковый словарь русского языка. Мн.: ОО «Бел. ассоц. «Конкурс», 2006. – 416 с.
3. 
   Бондарева Л.А. и др.; задачи со «звездочкой». Мн.: ОО «Бел. ассоц. «Конкурс», 2006. – 159 с.
4. 
   Германович П.Ю.; Сборник задач по математике на сообразительность. М.: «Учпедгиз», 1960. – 224 с.
5. 
   Доморяд А.П.; Математические игры и развлечения. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. – 264 с.
6. 
   Жикалкина Т.К.; Игровые и занимательные задания по математике, 2 класс. М.: «Просвещение», 1987. – 62 с.
7. 
   Кордемский Б.А.; Очерки о математических задачах на смекалку. М.: «Учпедгиз», 1958. – 116 с.
8. 
   Леман Иоханнес, перевод с немецкого Данилова; Гл. редактор Л.А. Ерлыкин. Увлекательная математика. М.: «Издательство “Знание”, 1985.- 270 с.
9. 
   Леман Иоганнес; редактор Э.К. Вакулина; 2х2=шутка. М.: «Просвещение» 1974. – 192 с.
10. 
    Минскин Е.М.; От игры к знаниям: Развивающие и познавательные игры младших школьников. М.: Просвещение, 1982. - 192 с.; ил.
11. 
    Михайлова З.А.; редактор: Л.Г. Фронина. Игровые занимательные задачи для дошкольников; М.: «Просвещение», 1990. – 95 с.
12. 
    Петраков И.С.; Математические кружки в 8-10 классах; М.: Просвещение, 1987. – 224 с.
13. 
    Репкин В.В.; Учебный словарь русского языка. М.: Инфолайн, 1999. – 656 с.: ил.
14. 
    Соболевский Р.Ф.; Логические и математические игры. Мн., «Нар. асвета», 1977. – 96 с.
15. 
    Под ред. Хинн О.Г.; Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/ М.: ООО «Фирма Издательство АСТ», 1999.- 480 с.

Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Министерство образования Оренбургской области

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение
«Орский машиностроительный колледж»

г.Орска Оренбургской области

Исследовательская работа

по математике

«
МАТЕМАТИКА БЕЗ
ФОРМУЛ, УРАВНЕНИЙ И
НЕРАВЕНСТВ
»

Подготовила
:
Тхорик Екатерина
,

студента группы
15ЛП

Руководитель:
Марченко О.В
.,

преподаватель мате
матики

Математика
–

это особый мир, в котором ведущую роль играют формулы,
символы и геометрические объекты. В исследовательской р
аботе мы решили
узнать, что произойдет, если из математики убрать формулы, уравнения и
неравенства?

Актуальность данного исследования состоит в том, что

с каждым годом
теряется интерес к математике. Не любят математику, прежде всего из
-
за формул.
В данной

работе мы хотим не только показать красоту математики, но и
преодолеть в сознании обучающихся возникающие представления о «сухости»,
формальном характере, оторванности этой науки от жизни и практики.

Цель работы: доказать, что математика останется полноц
енной наукой, при
этом интересной и многогранной, если из нее убрать формулы, уравнения и
неравенства.

Задачи работы:
показать, что математик
а

без формул, уравнений и
неравенств
является полноценной наукой
; провести опрос
обу
ча
ю
щихся; изучить
информационны
е источники; познакомится с основными способами решения
логических задач.

Если предположить, что математические формулы
-

лишь удобный язык
для изложения идей и методов математики, то сами эти идеи можно описать,
используя привычные и наглядные образы из о
кружающей жизни.

Объектом нашего исследования стали способы решения математических
задач без формул, уравнений и неравенств.

Студентам нашего колледжа было предложено ответить на вопрос: что
станет с математикой, если из нее убрать формулы, уравнения и не
равенства?
выбрав один ответ из следующих вариантов:

а) останутся числа, цифры, буквы б) останется только теория

в) останутся теоремы и доказательства г) останутся графики

д) математика станет литературой ж) ничего не останется

Результаты этого
опроса показали, что большинство студентов уверены, без
формул, уравнений и неравенств математика станет литературой. Мы решили
опровергнуть это мнение. Без формул, уравнений и неравенств в математике, в
первую очередь, останутся логические задачи, которы
е чаще всего составляют
большую часть заданий на олимпиаде по математике. Разнообразие логических
задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее
распространение получили следующие: метод рассуждения, метод таблиц, метод
графов, круги Эй
лера, метод блок
-
схем.

Способ рассуждений

самый примитивный способ. Этим способом
решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы
проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и
приходим к выводу, который и
будет являться ответом задачи.
Этим способом
обычно решают несложные логические задачи.

Основной прием, который используется при решении текстовых логических
задач, заключается в
построении таблиц
. Таблицы не только позволяют наглядно
представить условие з
адачи или ее ответ, но в значительной степени помогают
делать правильные логические выводы в ходе решения задачи.

Метод графов.
Граф
-

это совокупность объектов со связями между ними.
Объекты представляются как вершины, или узлы графа (они обозначаются
то
чками), а связи
-

как дуги, или рёбра. Если связь однонаправленная
обозначается на схеме линиями со стрелками, если связь между объектами
двусторонняя обозначается на схеме линиями без стрелок.

Метод кругов Эйлера.
Диаграммы Эйлера используются при решении

большой группы логических задач. Условно все эти задачи можно разделить на три
типа. В задачах первого типа необходимо символически выразить мно
жества,
заштрихованные на диаграммах Эйлера, используя зна
ки операций пересечения,
объединения и дополнения.
В задачах второго типа диаграммы Эйлера
применяются для анализа ситуаций, связанных с определением класса. Третий тип
задач, при решении которых используются диаграммы Эйлера,
-

задачи на
логический счет.

Метод блок
-
схем
.
Этот вид решения логических задач
входит в курс
обучения учеников общеобразовательных учреждений по курсу информатики.
Программирование на языке
Pascal
.

Кроме логических задач в математике п
орой для решения простых
математических задач приходится совершать абсурдные вещи, выходящие за
ра
мки нашей логики, нашего мышления.
Абсурд
–

в математике и логике,
обозначает, что какой
-
то элемент не имеет никакого смысла в рамках данной
теории,

системы или

поля, принципиально несовместимый с ними, хотя элемент,
который является абсурдом в данной сист
еме, может иметь смысл в другой.

В математике в отдельную группу выделяют софизмы (мастерство, умение)
-

сложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении
кажется правильным.

Без формул в математике может возникнуть ситуация, ко
торая может
существовать в реальности, но не имеет логического объяснения. Такая ситуация
называется парадоксом. Возникновение парадоксов не является чем
-
то
незакономерным, неожиданным, случайным в истории развития научного
мышления. Их появление сигнализи
рует о необходимости пересмотра прежних
теоретических представлений, выдвижения более адекватных понятий, принципов
и методов исследования.

Мир такой науки, как математика, не исчерпывается только лишь решением
особого вида задач. Помимо всех трудностей, в

ней есть прекрасное и интересное,
порой даже смешное. Математический юмор, также как и математический мир,
утонченный и особый.

Таким образом, без формул, уравнений и неравенств математика останется
полноценной наукой, при этом интересной и многогранной.

Библиографический список.

Агафонова, И. Г. Учимся думать: Занимательные логические задачи,
тесты и упражнения для детей. Учебное пособие [Текс] /
И. Г. Агафонова

СПб.
ИКФ МиМ
–

экспресс,1996.
–

Балаян Э.Н. 1001 олимпиадная и занимательная задач
и по
математике
[Текс]

/ Э.Н. Балаян.
-

3
-
е изд.
-

Ростов н/Д: Феникс, 2008.
-

Фарков, А. В. Математические олимпиады в школе. 5
-
11 классы.
[Текс]/

А. В. Фарков.
-

8
-
е изд., испр. и доп.
-

М.: Айрис
-
пресс, 2009.
-

http://www.arhimedes.org/

Турнир им. М. В. Ломоносова (г. Москва)
http://olympiads.mccme.ru/turlom/

Приложенные файлы

В данном разделе нашего сайта представлены темы исследовательских работ на логику в виде логических задач, софизмов и парадоков в математике, интересных игр на логику и логическое мышление. Непосредственно направлять и помогать в исследованиях школьнику должен руководитель работы.

Представленные ниже темы исследовательских и проектных работ на логику подойдут детям, любящим логически мыслить, решать нестандартные задачи и примеры, исследовать парадоксы и математические проблемы, играть в нестандартные логические игры.

В списке ниже можно выбрать тему проекта на логику для любого класса общеобразовательной школы, начиная с начальной школы и заканчивая старшей. В помощь для грамотного оформления проекта по математике на логику и логическое мышление можно воспользоваться разработанными требованиями к оформлению работы.

Приведенные ниже темы исследовательских проектов на логику не являются окончательными, и могут видоизменяться в связи с требованиями, поставленными перед выполнением проекта.

Темы исследовательских работ на логику:

Примерные темы исследовательских работ на логику для учащихся:

Занимательная логика в математике.
Логика алгебры
Логика и мы
Логика. Законы логики
Логическая шкатулка. Сборник занимательных логических задач.
Логические задания с числами.
Логические задачи
Логические задачи "Забавная арифметика"
Логические задачи в математике.
Логические задачи для определения количества геометрических фигур.
Логические задачи на развитие мышления
Логические задачи на уроках математики.
Логические игры
Логические парадоксы
Математическая логика.
Методы решения логических задач и способы их составления.
Моделирование логических задач
Обучающая презентация "Основы логики".
Основные виды логических задач и методы их решения.
По следам Шерлока Холмса, или Методы решения логических задач.
Применение теории графов при решении логических задач.
Проблемы четырех красок.
Решение логических задач
Решение логических задач методом графа.
Решение логических задач разными способами.
Решение логических задач с помощью графов
Решение логических задач с помощью схем и таблиц.
Решение логических задач.
Силлогизмы. Логические парадоксы.

Темы проектов на логику

Примерные темы проектов на логику для учащихся:
Софизмы
Софизмы вокруг нас
Софизмы и парадоксы
Способы составления и методы решения логических задач.
Учимся решать логические задачи
Алгебра логики и логические основы компьютера.
Виды задач на логическое мышление.
Два способа решения логических задач.
Логика и математика.
Логика как наука
Логические загадки.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Досчатинская средняя школа

городского округа г. Выкса Нижегородской области

Решение логических задач.

Физико-математическое отделение

Секция математическая

Работу выполнил:

ученица 5 класса

Папотина Елена Сергеевна

научный руководитель:

учитель МБОУ Досчатинская СШ

Рощина Людмила Валерьевна

Нижегородская область

р/п Досчатое

2016г.

Аннотация

Цель данной работы выявить умения рассуждать и делать правильные выводы, при решении логических задач. Эти задачи носят занимательный характер и не требуют большого запаса математических знаний, поэтому они привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику. В работе поставлены следующие задачи:

1) ознакомление с понятиями «логика» и «математическая логика»;

2) изучение основных методов решения логических задач;

3) изучение умения решать логические задачи учащимися 5-7 класса.

Методами исследования данной работы являются:

Сбор и изучение информации.

Обобщение экспериментального и теоретического материала.

Гипотеза : учащиеся нашей школы умеют решать логические задачи.

В ходе написания работы были исследованы типы и способы решения логических задач. Была проведена практическая работа с учениками среднего звена, на то, как они умеют решать логические задачи. Результаты работы показали, что не все учащиеся могут справиться с логическими задачами. Чаще всего способности школьников так и остаются не раскрыты для них самих, они не уверены в своих силах, равнодушны к математике. Для таких школьников я и предлагаю применять логические задачи. Эти задачи могут быть рассмотрены на кружковых и факультативных занятиях.

2.3 Метод кругов Эйлера

Этот метод является еще одним наглядным и довольно интересным способом решения логических задач. В основе этого метода лежит построение знаменитых кругов Эйлера-Венна, задачи, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи . Разберем пример применения данного метода.

Решим задачу 6:

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 - и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекается коллекционированием?

Решение. В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 23 и 35, то получится больше 52. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды, а именно тех, которые собирают и значки, и марки. Чтобы облегчить рассуждения, воспользуемся кругами Эйлера

На рисунке большой круг обозначает 52 школьника, о которых идет речь; круг 3 изображает школьников, собирающих значки, а круг М - школьников, собирающих марки.

Большой круг разбивается кругами 3 и М на несколько областей. Пересечению кругов 3 и М соответствуют школьники, собирающие и значки, и марки (рис.). Части круга 3, не принадлежащей кругу М, соответствуют школьники, собирающие только значки, а части круга М, не принадлежащей кругу 3, - школьники, собирающие только марки. Свободная часть большого круга обозначает школьников, не увлекающихся коллекционированием.

Будем последовательно заполнять нашу схему, вписывая в каждую область соответствующее число. По условию и значки, и марки собирают 16 человек, поэтому в пересечение кругов 3 и М впишем число 16 (рис.).

Так как значки собирают 23 школьника, а и значки, и марки - 16 школьников, то только значки собирают 23 - 16 = 7 человек. Точно так же только марки собирают 35 - 16 = 19 человек. Числа 7 и 19 впишем в соответствующие области схемы.

Из рисунка ясно, сколько всего человек занимается коллекционированием. Чтобы узнать это, надо сложить числа 7, 9 и 16. Получим 42 человека. Значит, не увлеченных коллекционированием остается 52 - 42 = 10 школьников. Это и есть ответ задачи, его можно вписать в свободное поле большого круга.

Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также значительно упрощает рассуждения.

2.4 Метод блок- схем

Задача 7. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе -мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

Решение. Оформим решение в виде блок схемы:

Ответ: 18 вариантов.

2.5 Истинностные задачи

Задачи, в которых требуется установить истинность или ложность высказываний назовем истинностными задачами.

Задача 7 . Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил мячом оконное стекло. Коля сказал: «Это не я разбил стекло». Олег сказал: «Это Петя разбил стекло». Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений верное, а другое - нет. Кто из мальчиков разбил стекло?

Решение. Предположим, что Олег сказал правду, тогда и Коля сказал правду, а это противоречит условию задачи. Следовательно, Олег сказал неправду, а Коля - правду. Из их утверждений следует, что стекло разбил Олег.

Задача 8. Четыре ученика - Витя, Петя, Юра и Сергей - заняли на математической олимпиаде четыре первых места. На вопрос, какие места они заняли, были даны ответы:

а) Петя - второе, Витя - третье;

б) Сергей - второе, Петя - первое;

в) Юра - второе, Витя - четвертое.

Указать, кто какое место занял, если в каждом ответе правильна лишь одна часть.

Решение. Предположим, что высказывание «Петя - II» верно, тогда оба высказывания второго человека неверны, а это противоречит условию задачи. Предположим, что высказывание «Сергей - II» верно, тогда оба высказывания первого человека неверны, а это противоречит условию задачи. Предположим, что высказывание «Юра - II» верно, тогда первое высказывание первого человека неверно, а второе верно. И первое высказывание второго человека неверно, а второе верно.

Ответ: первое место – Петя, второе место - Юра, третье место - Витя, четвертое место Сергей.

2.6 Задачи, решаемые с конца.

Есть такой вид логических задач, которые решаются с конца. Рассмотрим пример решения таких задач.

Задача 9. Вася задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое чило задумал Вася.

Решение: 2·7=14

14+6=20

20˸4=5

5·3=15

15-5=10

Ответ: Вася задумал число 10.

Глава 3. Изучение умения решать логические задачи.

В практической части научно-исследовательской работы я подобрала логические задачи типа: задачи, решаемые с конца; кто есть кто?; текстовые задачи.

Задачи соответствовали уровню знаний 5-го, 6-го и 7-го класса соответственно. Учащиеся решили эти задачи, а я проанализировала полученные результаты (рис. 1). Рассмотрим полученные результаты более подробно.

*Для 5-го класса были предложены следующие задачи:

Задача №1. Задача, решаемая с конца.

Я задумала число, умножила его на два, прибавила три и получила 17. Какое число я задумала?

Задача №2. Задачи типа "Кто есть Кто?»

Катя, Соня и Лиза имеют фамилию Васнецова, Ермолаева и Кузнецова. Какую фамилию имеет каждая девочка, если Соня, Лиза и Ермолаева - члены математического кружка, а Лиза и Кузнецова занимаются музыкой?

Задача №3. Текстовая задача.

В школьной спортивной олимпиаде участвовало 124 человека из них мальчиков на 32 больше, чем девочек. Сколько мальчиков и девочек участвовало в олимпиаде.

С задачей типа: «решаемая с конца», справились большинство учащиеся пятых классов. Такие задачи встречаются в учебниках 5-6 классов. С типом тектовых задач, эта задачи более сложные, над ней надо было порассуждать, с ней справились лишь 5 человек. (рис.2)

*Для 6-го класса были предложены следующие задачи:

Задача №1. Задача, решаемая с конца.

Я задумал число, отнял 57, разделил на 2 и получил 27. Какое число я задумал?

Задача №2. Задачи типа "Кто есть Кто?»

Атос, Портос, Арамис и Д’Артаньян – четыре талантливых молодых мушкетёра. Один из них лучше всех сражается на шпагах, другой не имеет равных в рукопашном бою, третий лучше всех танцует на балах, четвертый без промаха стреляет с пистолетов. О них известно следующее:

Атос и Арамис наблюдали на балу за их другом – прекрасным танцором.

Портос и лучший стрелок вчера с восхищением следили за боем рукопашника.

Стрелок хочет пригласить в гости Атоса.

Портос был очень большой комплекции, поэтому танцы были не его стихией.

Кто чем занимается?

Задача №3. Текстовая задача. На одной полке в 5 раз больше книг, чем на второй. После того как с первой полки переложили на вторую 12 книг, на полках книг стало поровну. Сколько книг было первоначально на каждой полке?

Среди учащихся 6-х классов, в количестве 18 человек, справились со всеми задачами 1 человек. С задачей типа: «решаемая с конца» справились все учащиеся 6-ого класса. С задачей №2 , типа «Кто есть кто?» справились 4 человека. С текстовой задачей справился лишь один человек (рис.3).

*Для 7-го класса были предложены следующие задачи:

Задача №1. Задача, решаемая с конца.

Я задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число я задумал.

Задача №2. Задачи типа "Кто есть Кто?»

Ваня, Петя, Саша и Коля носят фамилии начинающееся на буквы В, П, С, и К. Известно, что 1) Ваня и С. – отличники; 2) Петя и В. – троечники; 3) В ростом выше П.; 4) Коля ростом ниже П.; 5) Саша и Петя имеют одинаковый рост. На какую букву начинаются фамилии каждого?

Задача №3. Метод рассуждений.

Для ремонта школы прибыла бригада, в которой было в 2,5 раза больше маляров, чем плотников. Вскоре прораб включил в бригаду еще 4-х маляров, а двух плотников перевел на другой объект. В результате маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше, чем плотников. Сколько маляров и сколько плотников было в бригаде первоначально?

Среди учащихся 7-х классов, в количестве 20 человек, справились со всеми задачами 1 человек. С задачей типа: «рещаемая с конца» справились 13 учащиеся. С текстовой задачей справился один ученик (рис.4).

Заключение

В ходе исследовательской работы по изучению методов решения логических задач. Поставленные мной цель и задачи считаю выполненными. В первой главе я ознакомилась с понятием логики, как науки, основными этапами её развития и учеными, которые являются её основоположниками. Во-второй главе я изучила различные методы решения логических задач и разобрала их на конкретных примерах. Мной были рассмотрены следующие методы: м етод рассуждений, метод таблиц, метод графов, метод блок-схем, метод кругов Эйлера, истинностные задачи, метод решения задачи с конца. В третьей главе провела практическое исследование среди учеников 5-7 классов, проверив их умения решать логические задачи. Проведенные мною исследования показали следующее. С задачами которые справились большинство учеников, это задачи, решаемые с конца. С задачей «Кто есть кто?» (метод таблиц) справились половина учащихся. Текстовую задачу (метод рассуждений) решили лишь наименьшее количество человек. Я считаю, что моя гипотеза подтвердилась частично, так как половина учащимся тяжело далось решение логических задач.

Логические задачи помогают развивать логическое и образное мышление. У любого нормального ребенка есть стремление к познанию, желание проверить себя. Чаще всего способности школьников так и остаются не раскрыты для них самих, они не уверены в своих силах, равнодушны к математике. Для таких школьников я и предлагаю применять логические задачи. Эти задачи могут быть рассмотрены на кружковых и факультативных занятиях. Они должны быть доступны, будить сообразительность, овладевать их вниманием, удивлять, пробуждать их к активной фантазии и самостоятельному решению. Также я считаю, что логика помогает нам в нашей жизни справиться с любыми трудностями, и все что мы делаем, должно быть логически осмысленно и построено. С логикой и логическими задачами мы сталкиваемся не только в школе на уроках математики, но и на других предметах.

Литература

Виленкин Н.Я. Математика 5класс.-Мнемозина, М:2015. 45 стр.

Виленкин Н.Я. Математика 5класс.-Мнемозина, М:2015. 211 стр.

Орлова Е. Методы решения логических задач и задач на числа //

Математика. -1999. № 26. - С. 27-29.

Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук –Москва,: 1948г.

Интернет-ресурсы:

http:// wiki . iteach .

Рис. 3 Анализ работ 6-ого класса.

Рис. 4 Анализ работ 7-го класса